Nguyên hàm
1. Kiến thức cần nhớ
+ Định nghĩa: \(\int {f(x)dx = F(x) + C \Leftrightarrow F'(x) = f(x)} \)
+ Tính chất:
1/ \(\int {f'(x)dx = f(x) + C} \)
2/\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } \) với \(\forall k \ne 0\).
3/ \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx} \)
+ Bảng nguyên hàm:
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số.
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi hàm số \(f\left( x \right)\) về các hàm số sơ cấp có nguyên hàm đã biết.
- Bước 2: Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…để tìm nguyên hàm các hàm số.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).
Giải:
Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}} \) \(= {x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
Do đó \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \) \(= \int {{x^2}dx} - 2\int {dx} + \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} \) \(= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\).
Dạng 2: Tìm hàm số cho biết đạo hàm và giá trị của hàm số tại một điểm.
- Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho, sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…
- Bước 2: Thay giá trị đề bài cho vào và tìm hằng số \(C\) suy ra hàm số cần tìm.