Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2

1. Các kiến thức cần nhớ

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

+) Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

+) Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Đồ thị hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong đi qua gốc tọa độ $O$ và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

Đường cong đó là một parabol với đỉnh $O$.

- Nếu $a > 0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu $a < 0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước

Phương pháp:

Giá trị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ là ${y_0} = ax_0^2$.

Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

Xét hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).$ Ta có:

- Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

- Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$

Phương pháp:

Để vẽ đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Lập bảng giá trị đặc biệt tương ứng giữa $x$ và $y$ của hàm số $y = a{x^2}\,\,(a \ne 0)$.

Bước 2: Biểu diễn các điểm đặc biệt trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị dạng parabol của hàm số đi qua các điểm đặc biệt đó.

Dạng 4: Tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng

Phương pháp:

Cho parabol $(P):y=a{x^2}(a \ne 0)$ và đường thẳng $d:y = mx + n$. Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$, ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$: $a{x^2} = mx + n$ (*)

Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó ta tìm được tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ .