Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
1. Kiến thức cần nhớ
a) Căn bậc hai của số phức.
- Số phức \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) nếu \({w^2} = z\).
- Mọi số phức \(z \ne 0\) đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau \(w\) và \( - w\)
- Số thực \(a > 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm \sqrt a \); số thực \(a < 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt {\left| a \right|} \).
b) Phương trình bậc hai.
Xét phương trình bậc hai tổng quát: \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\).
- Biệt thức \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\)
+ Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))
- Hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức.
Phương pháp:
Cách 1: Biến đổi \(z = a + bi\) dưới dạng bình phương của số phức khác.
Cách 2: Giả sử \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của \(z\), khi đó \({w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.\)
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \)
- Bước 3: Tính các nghiệm:
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\)
+ Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))
Dạng 3: Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương pháp:
- Bước 1: Nêu định lý vi-et.
- Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm.
- Bước 3: Thay các giá trị tổng và tích vào biểu thức để tính giá trị.
Dạng 4: Giải phương trình bậc cao.
Phương pháp:
Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình.