Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Bài toán đếm

Tập hợp hữu hạn \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.

Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp \(3\) bạn vào một bàn có \(3\) chỗ ngồi?

Giải:

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị khác nhau của \(3\) bạn. Vậy số cách xếp là \({P_3} = 3! = 6\).

Xét một tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\) và một số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).

Ví dụ: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm \(3\) chữ số đôi một khác nhau và khác \(0\)?

Giải:

Mỗi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \left( {a,b,c \in \left\{ {1;2;3;...;9} \right\},a \ne b \ne c} \right)\).

Mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(9\). Do đó số các số cần tìm là: \(A_9^3 = \dfrac{{9!}}{{\left( {9 - 3} \right)!}} = 9.8.7 = 504\) số.

Cho tập hợp hữu hạn \(A\) và số nguyên \(k\) với \(0 \le k \le n\). Mỗi cách lấy ra \(k\) phần tử của tập \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của \(A\).

Một số tính chất:

Với \(k,n \in Z,0 \le k \le n\) thì:

+) \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

+) \(C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k - 1}\)