Thiết diện và các bài toán liên quan

Bài toán:

Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $O$ và vuông góc với đường thẳng $d$.

Phương pháp:

Cách 1: Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với $d$, khi đó $\left( \alpha \right)$ sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết.

Cách 2: Ta dựng mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ như sau:

- Dựng hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau cùng vuông góc với $d$, trong đó có một đường thẳng đi qua $O$.

- Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chính là mặt phẳng $\left( {a,b} \right)$.

Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $SC$. Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp $S.ABC$ là:

A. Hình thang vuông.

B. Tam giác đều.

C. Tam giác cân.

D. Tam giác vuông.

Giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, kẻ $IH \bot SC$.

Ta có $BI \bot AC,\,BI \bot SA \Rightarrow BI \bot SC$.

Do đó $SC \bot \left( {BIH} \right)$ hay thiết diện là tam giác $BIH$.

Mà $BI \bot \left( {SAC} \right)$ nên $BI \bot IH$ hay thiết diện là tam giác vuông.

Chọn D.