Tích vô hướng của hai véc tơ

1. Định nghĩa

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác $\overrightarrow 0 $. Khi đó:

Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $, kí hiệu $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$ và $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}$.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Tính góc giữa hai véc tơ:

a. $\overrightarrow {BA} $ và $\overrightarrow {BC} $

b. $\overrightarrow {CA} $ và $\overrightarrow {BC} $

Giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông cân nên góc $A$ bằng $90^0$ và góc $B$ bằng góc $C$ bằng $45^0$.

a. Ta có: $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}$

b. Dựng véc tơ $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BC} $ thì $\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \widehat {ACD} = {135^0}$

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là một số thực được xác định bởi: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Ví dụ 2: Với các giả thiết ở ví dụ 1 và cho thêm $AB=AC=1$, tính $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} $.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

Mà $\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = BA = 1$, $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 $, $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}$ nên:

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.\sqrt 2 .\cos {45^0} = \sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 1$.

Vậy $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} =1$

2. Tính chất

Với ba véc tơ bất kì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ và mọi số thực $k$ ta luôn có:

$\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array}$