Tổng của hai véc tơ

1. Tổng hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $. Từ điểm A tùy ý vẽ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a $ rồi từ B vẽ $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b $.

Khi đó vectơ $\overrightarrow {AC} $ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow b $.

Kí hiệu $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b $

b) Tính chất

+ Giao hoán : $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a $

+ Kết hợp : $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$

+ Tính chất vectơ – không: $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow a {\rm{, }}\forall \overrightarrow a $

2. Các quy tắc

3. Các điểm đặc biệt

a) Trung điểm

b) Trọng tâm

Chứng minh:

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $D$ đối xứng $G$ qua $I$

Khi đó $BGCD$ là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GD} $ (quy tắc hình bình hành)

Mà $GA = GD = 2GI$ nên $G$ là trung điểm của $AD$

Do đó $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $ (tính chất trung điểm)

Vậy $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $

Với $M$ là điểm bất kì thì:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} $ $ = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} $ $ = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} $