Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O$, bán kính $R$ và đường thẳng $\Delta $. Khi đó:

- $\Delta $ và $\left( C \right)$ không có điểm chung $ \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) > R$

- $\Delta $ và $\left( C \right)$ có điểm chung duy nhất $M \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R = IM$

Khi đó $\Delta $ được gọi là tiếp tuyến với đường tròn hay $\Delta $ và $\left( C \right)$ tiếp xúc với nhau tại $M$.

- $\Delta $ và $\left( C \right)$ có hai điểm chung phân biệt $ \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) < R$

2. Một số dạng toán thường gặp về tiếp tuyến và đường tròn

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

Cho đường tròn $\left( C \right):{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R$.

a) Tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} $ là véc tơ pháp tuyến.

b) Tiếp tuyến với $\left( C \right)$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$

- Gọi phương trình đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$

- Lập hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}M \in \Delta \\d(I,\Delta ) = R\end{array} \right.$ tìm mối quan hệ $a,b,c$.

- Cho $a$ (hoặc $b,c$) một giá trị cụ thể (thường cho $a = 1$) rồi tìm $b,c$

c) Tiếp tuyến $\Delta $ với $\left( C \right)$ song song hoặc vuông góc với đường thẳng $d$ đã cho.

- Xác định VTPT (VTCP) của $\Delta $ và gọi phương trình của $\Delta $

- $\Delta $ là tiếp tuyến với $\left( C \right) \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R$

Dạng 2: Viết phương trình đường tròn biết mối quan hệ của nó với đường thẳng cho trước.

Cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$

a) Đường tròn có tâm $I$ và tiếp xúc $\Delta $ thì $R = d\left( {I,\Delta } \right)$

b) Đường tròn có tâm $I$ và cắt $\Delta $ tại hai điểm $A,B$ thỏa mãn điều kiện nào đó:

$d\left( {I,\Delta } \right) = \sqrt {{R^2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} $