Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân-chia hai lũy thừa cùng cơ số

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

${a^2}$ gọi là $a$ bình phương (hay bình phương của $a$ );

${a^3}$ gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$.)

Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$

Ví dụ: ${2^3} = 2.2.2 = 8$

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Ví dụ: ${3^2}{.3^5} = {3^{2 + 5}} = {3^7}.$

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Ví dụ: ${3^5}:{3^3} = {3^{5 - 3}} = {3^2} = 3.3 = 9.$

4. Mở rộng

a) Lũy thừa của lũy thừa

Ví dụ: ${\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}$

b) Lũy thừa của một tích

Ví dụ: ${\left( {2.3} \right)^4} = {2^4}{.3^4}$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: $\underbrace {a.a.a.....a}_{n\,{\rm{thua}}\,{\rm{so}}}$$ = {a^n};$${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 2: Nhân; chia hai lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải

Áp dụng công thức:${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$

Dạng 3: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải

Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ

Nếu $m > n$ thì ${a^m} > {a^n}$

Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số

Nếu $a > b$ thì ${a^m} > {b^m}$

Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh

Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu $a < b;b < c$ thì $a < c.$

Dạng 4: Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức.

Phương pháp giải

-Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.

-Sử dụng tính chất : với $a \ne 0;a \ne 1$ nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n\,\,(a,m,n \in N).$

Dạng 5: Tìm cơ số của lũy thừa

Phương pháp giải

- Dùng định nghĩa lũy thừa:

$\underbrace {a.a.....a}_{n\,{\rm{thừa}}\,{\rm{số}}\,a}$ $ = {a^n}$
- Hoặc sử dụng tính chất với $a;b \ne 0;a;b \ne 1$

nếu ${a^m} = {b^m}$ thì $a = n\,\,(a,b,m,n \in N).$