Lũy thừa của một số hữu tỉ

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Ví dụ: \({2^3} = 2.2.2\)

Chú ý: Khi viết lũy thừa dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left( {a,\,b \in \mathbb{Z};\,b \ne 0} \right)\) , ta có \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số

Ví dụ: \({3^5}{.3^2} = {3^{5 + 2}} = {3^7};\)\({2^7}:{2^2} = {2^{7 - 2}} = {2^5}\).

3. Lũy thừa của lũy thừa

Ví dụ: \({\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\).

4. Lũy thừa của một tích

Ví dụ: \({\left( {2.3} \right)^2} = {2^2}{.3^2} = 4.9 = 36\)

5. Lũy thừa của một thương

Ví dụ: \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3} = \dfrac{{{2^3}}}{{{3^3}}} = \dfrac{8}{{27}}\)

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích các lũy thừa, thương các lũy thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa lũy thừa và các công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\); \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\)\(\left( {x \ne 0,m \ge n} \right);\)\({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}};\) \({\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\)\(\left( {y \ne 0} \right).\)

Dạng 2: Tìm số mũ hoặc cơ số của một lũy thừa

Phương pháp:

Ta sử dụng tính chất nếu \({a^m} = {a^n}\)  thì \(m = n\,\,\left( {a \ne 0;a \ne  \pm 1} \right)\)

+ Nếu \({a^n} = {b^n}\) thì \(a = b\) nếu \(n\) lẻ;\(a =  \pm b\) nếu \(n\) chẵn

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp:

Thực hiện đúng thứ tự của phép tính: Lũy thừa, nhân, chia, cộng, trừ. Nếu có dấu ngoặc ta cần làm theo thứ tự: ngoặc tròn-ngoặc vuông-ngoặc nhọn.