Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

1. Các kiến thức cần nhớ

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định xem có tồn tại một tam giác với ba cạnh là ba độ dài cho trước hay không?

Phương pháp:

+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là $a,b,c$ nếu

$\left| {b - c} \right| < a < b + c$

+ Trong các trường hợp xác định được $a$ là số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ thì điều kiện để tồn tại tam giác là $a < b + c$

Dạng 2: Xác định khoảng giá trị của một cạnh của tam giác

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Trong tam giác có ba cạnh có độ dài $a,b,c$ bao giờ cũng có bất đẳng thức $\left| {b - c} \right| < a < b + c$. Từ bất đẳng thức này ta suy ra khoảng giá trị của $a.$

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức về độ dài

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức. Chú ý đến các phép biến đổi sau:

+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức $a > b \Rightarrow a + c > b + c.$

+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:

$\left. \begin{array}{l}a < b\\c < d\end{array} \right\} \Rightarrow a + c < b + d.$

Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai độ dài

Phương pháp:

Với ba điểm $M,B,C$ bất kì ta có $BM + MC \ge BC.$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn $BC$.

Như vậy, nếu độ dài đoạn $BC$ không đổi thì tổng $BM + MC$ nhỏ nhất bằng $BC$ khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn $BC$.