Phương pháp giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng

1. Kiến thức cần nhớ

- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$ làm VTPT là:

Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm và một véc tơ pháp tuyến.

- Phương trình đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ là:

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

- Phương trình các mặt phẳng tọa độ: $\left( {Oxy} \right):z = 0,\left( {Oyz} \right):x = 0,\left( {Oxz} \right):y = 0$

- Chùm mặt phẳng:

Giả sử $\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d$ trong đó: $\left( P \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\;;\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$

Khi đó, mọi mặt phẳng chứa $d$ đều có phương trình dạng: $m\left( {{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}} \right) + n\left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0$ với ${m^2} + {n^2} > 0$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng.

-) Mặt phẳng đi qua ba điểm.

$\left( P \right)$ đi qua $A,B,C \Leftrightarrow \left( P \right)$ đi qua $A$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ làm VTPT.

-) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

$\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$ nếu $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $I$ của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB} $ làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng.

$\left( P \right)$ đi qua $A$ và song song $\left( Q \right)$ nếu $\left( P \right)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow {{n_Q}} $ làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

$\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M,N$ và song song mặt phẳng $\left( Q \right)$ nếu $\left( P \right)$ đi qua $M$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$ làm VTPT.

-) Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng.

$\left( P \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với $\left( Q \right),\left( R \right)$ (không song song) nếu $\left( P \right)$ đi qua $M$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right]$ làm VTPT.

Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng này.

- Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.

- Bước 3: Kết luận: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hai mặt phẳng vuông góc, song song, …

Sử dụng các điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc,… để tìm tham số.