Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

$\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}$

- Công thức đổi biến: $\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int\limits_{t\left( a \right)}^{t\left( b \right)} {f\left( t \right)dt} $

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến $t = u\left( x \right)$.

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Ví dụ: Tính tích phân $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} $.

Giải:

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 $ $ \Rightarrow 2tdt = 2xdx$.

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$

Do đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int\limits_1^2 {t.2tdt} = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} - {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}$.

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến $x = u\left( t \right)$.

- Bước 1: Đặt $x = u\left( t \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.$.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $dx = u'\left( t \right)dt$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $

Ví dụ: Cho $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} $, nếu đặt $x = \sin t$ thì:

A. $I = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $

B. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

C. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

D. $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\cos 2t - 1}}{2}{\rm{d}}t} $

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$

Suy ra

$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t} $ $= \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} $

Chọn C.