Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

- Công thức nguyên hàm từng phần: \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \)

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} \)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = g'\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) (\(v\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(h\left( x \right)\))

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = uv - \int {vdu} \)

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx}  = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\ln x$

Giải: Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {x\ln xdx} $.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx}  = \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x - \dfrac{1}{4}{x^2} + C$

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}  = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính $I = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I = \int {x{e^x}dx}  = x{e^x} - \int {{e^x}dx} $$ = x{e^x} - \int {d\left( {{e^x}} \right)}  = x{e^x} - {e^x} + C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \).

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v =  - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}  = uv - \int {vdu} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = uv - \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(I = \int {x\sin xdx} \)

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cos x\end{array} \right.\)

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

\(I =  - x\cos x + \int {\cos xdx}  =  - x\cos x + \sin x + C\)

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính nguyên hàm \(\int {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(uv - \int {vdu} \).

Lưu ý:

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.

- Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = \int {\sin x.{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = {e^x}\sin x - \int {\cos x{e^x}dx}  = {e^x}\sin x - J\)

Tính \(J = \int {\cos x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(J = {e^x}\cos x + \int {\sin x{e^x}dx}  = {e^x}\cos x + I.\)

Do đó \(I = {e^x}\sin x - J = {e^x}\sin x - \left( {{e^x}\cos x + I} \right) \Leftrightarrow 2I = {e^x}\sin x - {e^x}\cos x\)

Vậy \(I = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x}\sin x - {e^x}\cos x} \right) + C\)