Phương trình mặt phẳng

1. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng

+) Véc tơ $\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)$ là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu giá của nó vuông góc với $\left( P \right)$.

+) Hai véc tơ không cùng phương $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của $\left( P \right)$ nếu giá của chúng nằm trong $\left( P \right)$ hoặc song song với $\left( P \right)$.

+) Nếu $\overrightarrow n $ là một VTPT của $\left( P \right)$ thì $k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là VTPT của $\left( P \right)$, do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.

+) Nếu $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ là cặp VTCP của $\left( P \right)$ thì $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ là một VTPT của $\left( P \right)$.

2. Phương trình mặt phẳng

+) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$ làm VTPT thì $\left( P \right)$ có phương trình:

+) Nếu ${a^2} + {b^2} + {c^2} > 0$ ($a,b,c$ không đồng thời bằng $0$) thì phương trình $ax + by + cz + d = 0$ là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0$ có các VTPT lần lượt là $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {a';b';c'} \right)$. Khi đó hai mặt phẳng:

- cắt nhau nếu $\overrightarrow n \ne k.\overrightarrow {n'} $

- song song nếu $\overrightarrow n = k.\overrightarrow {n'} $ và $d \ne k.d'$

- trùng nhau nếu $\overrightarrow n = k.\overrightarrow {n'} $ và $d = k.d'$

- vuông góc nếu $\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} = 0$.

Nếu $a'b'c'd' \ne 0$ thì:

+) $\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}$ hoặc $\dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$ hoặc $\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$ thì $\left( P \right),\left( Q \right)$ cắt nhau.

+) $\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}$ thì $\left( P \right)//\left( Q \right)$

+) $\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}}$ thì $\left( P \right) \equiv \left( Q \right)$

+) $a.a' + b.b' + c.c' = 0$ thì $\left( P \right) \bot \left( Q \right)$.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ là:

- Đặc biệt, nếu điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)$ thì $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 0$

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0$

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$ là góc có:

Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha $ thì $0 \le \alpha \le {90^0} \Rightarrow 0 \le \cos \alpha \le 1$.