Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng
1. Kiến thức cần nhớ
Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R\). Khi đó:
- \(\left( S \right) \cap \left( P \right) = \emptyset \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R\).
- \(\left( S \right) \cap \left( P \right) = \left\{ H \right\} \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\).
ở đó, \(H\) là tiếp điểm, \(\left( P \right)\) là tiếp diện và \(OH \bot \left( P \right)\) tại \(H\).
- \(\left( S \right) \cap \left( P \right) = C\left( {H;r} \right) \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R\).
ở đó : với \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:
+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)
+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính \(r\) thì \(R = {r^2} + {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)\)
- Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng dựa vào điều kiện bài cho.
+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm \(M\) thì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {IM} \)
+ Song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính \(r\) thì thì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).
- Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.